a)

Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:

 

\begin{displaymath}\begin{cases}2x +y-3z = 5 \\ 3x -2y +2z = 5 \\ 5x -3y-z = 16 \end{cases}\end{displaymath}    

 

 

 

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è la matrice:

 

$\displaystyle \left( \begin{matrix} 2&1& -3&5\\ 3&-2& 2&5\\ 5&-3& -1&16 \end{matrix}\right). $

 

Per ridurre la matrice a gradino scambiamo la prima e la seconda colonna, ottenendo così la matrice:

 

$\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&2& -3&5\\ -2&3& 2&5\\ -3&5& -1&16 \end{matrix}\right). $

 

Notiamo che l'aver scambiato le prime due colonne colonne della matrice implica che l'ordine scelto per le variabili, nello scrivere il sistema associato, diventa $ y$, $ x$, $ z$. Una possibile riduzione per righe è:

 

$\displaystyle \left( \begin{matrix}1&2& -3&5\\ -2&3& 2&5\\ -3&5& -1&16 \end{mat... ... \left( \begin{matrix}1&2& -3&5\\ 0&7& -4&15\\ 0&0& 26&-52 \end{matrix} \right)$    

 

Il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta e uguale a $ 3$. Il sistema allora ammette una unica soluzione. Per determinare la soluzione scriviamo, ricordando che abbiamo scambiato le prime due colonne, il sistema associato alla matrice ridotta:

 

\begin{displaymath} \begin{cases} y+2x-3z=5\\ 7x-4z=15\\ 26z=-52. \end{cases}\end{displaymath}

 

La soluzione è:

 

\begin{displaymath} \begin{cases} x=1\\ y=-3\\ z=-2 \end{cases}\end{displaymath}

b)

Determinare le soluzioni del seguente sistema omogeneo:

 

\begin{displaymath}\begin{cases}x +y+z = 0 \\ 2x -3y +z= 0 \\ x -4y+2z = 0 \end{cases}\end{displaymath}    

 

 

 

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è:

 

$\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&1&1&0\\ 2&-3&1&0\\ 1&-4&2&0 \end{matrix}\right). $

 

Riduciamo la matrice a gradino. Una possibile riduzione per righe è

 

$\displaystyle \left( \begin{matrix}1&1&1&0\\ 2&-3&1&0\\ 1&-4&2&0 \end{matrix} \... ...adsto \left( \begin{matrix}1&1&1&0\\ 0&-5&-1&0\\ 0&0&-2&0 \end{matrix} \right).$    

 

Il sistema associato all'ultima matrice è:

 

\begin{displaymath} \begin{cases} x+y+z=0\\ 5y+z=0\\ 2z=0 \end{cases}\end{displaymath}

 

che anmmette l'unica soluzione:

 

\begin{displaymath} \begin{cases} x=0\\ y=0\\ z=0. \end{cases}\end{displaymath}

 

In modo alternativo si può precedere come segue. La matrice dei coefficienti associata al sistema è la matrice:

 

$\displaystyle A=\left ( \begin{matrix} 1&1&1\\ 2&-3&1\\ 1&-4&2 \end{matrix}\right ). $

 

Il determinante di $ A$ è uguale a :

 

$\displaystyle \dete(A)=-12. $

 

Ne segue che la matrice $ A$ ha rango $ 3$ così come la matrice completa associata al sistema. Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ha una unica soluzione. D'altra parte ogni sistema omogeneo ha almeno la soluzione banale, pertanto la soluzione è:

 

\begin{displaymath} \begin{cases} x=0\\ y=0\\ z=0. \end{cases}\end{displaymath}