ESERCIZI SULLE EQUAZIONI PARAMETRICHE

E' data la seguente equazione contenente un parametro $\displaystyle\blue{a}\in\mathbb{R}$
$\displaystyle\blue\frac{{{a}-{1}}}{{{a}-{2}}}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+\frac{{{5}-{15}{a}}}{{{a}-{2}}}={0}$
Si esaminino le soluzioni dell'equazione e i valori che può assumera il parametro.

Consideriamo le condizioni di esistenza; avendo
$\displaystyle\blue\frac{{{a}-{1}}}{{{a}-{2}}}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+\frac{{{5}-{15}{a}}}{{{a}-{2}}}={0}$
si deve escludere $\displaystyle\blue{a}={2}$ , che annullerebbe i denominatori.

Vediamo cosa succede per eventuali valori del parametro che annullano il coefficiente di $\displaystyle\blue{{x}}^{{2}}$ ; ad esempio, tornando all'equazione di prima, se $\displaystyle\blue{a}={1}$ l'equazione si riduce a $\displaystyle\blue-{2}{x}+{10}={0}$ , da cui $\displaystyle\blue{x}={5}$ ;

E' importante ora esaminare il discriminante $\displaystyle\blue\Delta$ , ovvero, indicando con
$\displaystyle\blue{x}=\frac{{-{b}\pm\sqrt{{{{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}}}}}{{{2}{a}}}$ la formula risolutiva, si ha che $\displaystyle\blue\Delta={{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}$ ;
Ma se il coefficiente di $\displaystyle\blue{x}$ è pari, si può porre $\displaystyle\blue{t}=\frac{{b}}{{2}}$ ed applicare la formula risolutiva ridotta:
$\displaystyle\blue{x}=\frac{{-{t}\pm\sqrt{{{{t}}^{{2}}-{a}{c}}}}}{{a}}$ , dove, in questo caso, $\displaystyle\blue\Delta={{t}}^{{2}}-{a}{c}$ .
Nel nostro caso, eliminiamo i denominatori ottenendo:
$\displaystyle\blue{\left({a}-{1}\right)}{{x}}^{{2}}-{2}{\left({a}-{2}\right)}{x}+{\left({5}-{15}{a}\right)}={0}$

Il discriminante è importante studiarlo: infatti sappiamo da esso se l'equazione ammette radici, ed eventualmente quante.
Ricordiamo che se
$\displaystyle\blue\Delta={0}$ l'equazione ammette un valore che la soddisfa (diciamo anche due radici reali coincidenti $\displaystyle\blue{x}_{{1}}={x}_{{2}}$ )
$\displaystyle\blue\Delta>{0}$ l'equazione ammette due radici reali distinte
$\displaystyle\blue\Delta<{0}$ l'equazione non ha radici reali

Calcoliamo il valore del discriminante
$\displaystyle\blue\Delta={{\left({a}-{2}\right)}}^{{2}}-{\left({a}-{1}\right)}{\left({5}-{15}{a}\right)}={\left({{a}}^{{2}}-{4}{a}+{4}\right)}-{\left({5}{a}-{15}{{a}}^{{2}}-{5}+{15}{a}\right)}=$
$\displaystyle\blue={16}{{a}}^{{2}}-{24}{a}+{9}={{\left({4}{a}-{3}\right)}}^{{2}}\ge{0}$
Se il discriminante vale zero, ovvero
$4a-3=0 \implies a=3/4$
l'equazione ammette la radice $\displaystyle\blue{x}={5}$
Altrimenti, l'equazione ha due radici reali distinte, che sono, applicando la formula
$\displaystyle\blue{x}_{{1}}=\frac{{{\left({a}-{2}\right)}+{\left({4}{a}-{3}\right)}}}{{{a}-{1}}}=\frac{{{5}{a}-{5}}}{{{a}-{1}}}=\frac{{{5}{\left({a}-{1}\right)}}}{{{a}-{1}}}={5}$
$\displaystyle\blue{x}_{{2}}=\frac{{{\left({a}-{2}\right)}-{\left({4}{a}-{3}\right)}}}{{{a}-{1}}}=\frac{{{1}-{3}{a}}}{{{a}-{1}}}$

Riassumendo:
-- se $\displaystyle\blue{a}={2}$ l'equazione perde significato;
-- se $\displaystyle\blue{a}={1}$ l'equazione diventa di primo grado e la soluzione è $\displaystyle\blue{x}_{{1}}={5}$ ;
-- se $\displaystyle\blue{a}=\frac{{3}}{{4}}$ l'equazione ammette due radici coincidenti $\displaystyle\blue{x}_{{1}}={x}_{{2}}={5}$
-- se $\displaystyle\blue{a}$ assume altri valori, si hanno due radici reali e distinte: ${(x_1=5),(x_2=(1-3a)/(a-1)):}$

Al più presto verranno inseriti altri esercizi